Kariéru začínal v MŠK Žilina, ale za šošonov neodohral ani jeden zápas. Výraznejšie sa František Plach presadil v FK Senica, kde si vďaka výborným výkonom vyslúžil prestup do poľského Piastu Gliwice. V sezóne 2018/19 s Piastom vyhral poľskú ligu a stal sa najlepším brankárom sezóny.